Lukujärjestelmistä

(c) Tommi Lahtonen 29.1.1998. Muiden kuin matemaatikkojen haukkuja voi lähettää osoitteeseen tommi.j.lahtonen@jyu.fi

10-järjestelmä

Esimerkki:
102 101 100
100 10 1
2 2 1
22110 = 2 sataa + 2 kymmentä + 1 ykköstä
= 2 * 100 + 2 * 10 + 1 * 1
= 2 * 102 + 2 * 101 + 1 * 100
Vastaavaan tyyliin tulkitaan muutkin lukujärjestelmät. Kantalukuna voi olla mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1.

2-järjestelmä

2-järjestelmässä eli binäärijärjestelmässä kantalukuna on 2 (vrt. 10 edellisessä kappaleessa). Käytössä on siis vain kaksi lukua numeroiden ilmaisemiseen eli 0 ja 1 (10-järjestelmässä 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
2-järjestelmässä olevan luvun muuntaminen 10-järjestelmään:
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 1 0 1 1 1 0
111011102 = 1 * 27 + 1 * 26 + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20
= 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0
= 238
10-järjestelmässä olevan luvun muuttaminen 2-järjestelmään:
Otetaan suurin 2 potenssi joka mahtuu muunnettavaan lukuun
18710
187 - 27 = 187 - 128 = 59 -> vasemmanpuoleisin bitti on 1
Jatketaan jäljelle jäävällä osalla eli 59
59 - 26 = 59 - 64 -> menee negatiiviseksi -> seuraavaksi bitiksi 0
Yritetään yhtä pienemmällä kakkosen potenssilla
59 - 25 = 59 - 32 = 27 -> mahtui -> seuraavaksi bitiksi 1
Jatketaan jäljelle jäävällä osalla eli 27
27 - 24 = 27 - 16 = 11 -> mahtui -> seuraavaksi bitiksi 1
Jatketaan jäljelle jäävällä osalla eli 11
11 - 23 = 11 - 8 = 3 -> mahtui -> seuraavaksi bitiksi 1
Jatketaan jäljelle jäävällä osalla eli 1
3 - 22 = 3 - 4 = -1 -> ei mahdu -> seuraavaksi bitiksi 0
Yritetään yhtä pienemmällä kakkosen potenssilla
3 - 21 = 3 - 2 = 1 -> mahtui -> seuraavaksi bitiksi 1
Yritetään yhtä pienemmällä kakkosen potenssilla
1 - 20 = 1 - 1 = 0 -> mahtui -> seuraavaksi bitiksi 1
0 saavutettu -> muunnos on valmis. Lopputulokseksi saamme:
18710 = 101110112

8-järjestelmä (oktaalijärjestelmä)

8-järjestelmässä eli oktaalijärjestelmässä kantalukuna on 8 (vrt. 2 edellisessä kappaleessa). Käytössä on siis kahdeksan lukua numeroiden ilmaisemiseen eli 0,1,2,3,4,5,6,7 (10-järjestelmässä 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Binääriluvun muuttaminen oktaaliluvuksi:
Jaetaan binääriluku oikeasta reunasta lukien kolmen numeron ryhmiin (23 = 8 -> maksimi mitä yhdellä oktaalinumerolla voidaan esittää).
101011112 = 10 101 111
Muutetaan jokainen numeroryhmä vastaavaksi 10-järjestelmän luvuksi
= 10 101 111
= 1*21+0*20 1*22+0*21+1*20 1*22+1*21+1*20
= 2+0 4+0+1 4+2+1
= 2 5 7
saadut numerot ovat valmiita oktaalilukuja jotka vain yhdistetään yhdeksi numeroksi eli saamme tulokseksi 2578
Oktaaliluvun muuttaminen binääriluvuksi
Otetaan oktaaliluvun jokainen numero erikseen ja muutetaan vastaavaksi binääriluvuksi aivan samoin kuin 10-järjestelmän luvut. Binääriluvut kolmen bitin ryhmissä (23 = 8 -> maksimi mitä yhdellä oktaalinumerolla voidaan esittää).
1238 = 1 2 3
= 0*22 0*21 1*20 0*22 1*21 0*20 0*22 1*21 1*20
= 001 010 011
Yhdistetään saadut binääriluvut yhdeksi luvuksi niin saadaan 001010011 ja alkunollat voidaan jättää pois eli lyhyemmin 1010011

16-järjestelmä (heksajärjestelmä)

16-järjestelmässä eli heksajärjestelmässä kantalukuna on 16 (vrt. 8 edellisessä kappaleessa). Käytössä on siis 16 lukua numeroiden ilmaisemiseen eli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f (10-järjestelmässä 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Binääriluvun muuttaminen heksaluvuksi
Jaetaan binääriluku oikeasta reunasta lukien neljän numeron ryhmiin
101110012 = 1011 1001
Muutetaan jokainen numeroryhmä vastaavaksi 16-järjestelmän luvuksi
= 1011 1001
= 1*23+0*22+1*21+1*20 1*23+0*22+0*21+1*20
= 8+0+2+1 8+0+0+1
= 1110 = b16 910 = 916
Yhdistetään tulokseksi saadut heksaluvut yhdeksi luvuksi eli b9
Heksaluvun muuttaminen binääriluvuksi
Otetaan heksaluvun jokainen numero erikseen ja muutetaan vastaavaksi binääriluvuksi aivan samoin kuin 10-järjestelmän luvut. Binääriluvut neljän bitin ryhmissä. (24 = 16 -> maksimi mitä yhdellä heksanumerolla voidaan esittää).
be16 = b16 e16
= 1110 1410
= 1*23 0*22 1*21 1*20 1*23 1*22 1*21 0*20
= 10112 11102
Yhdistetään saadut binääriluvut ja saadaan 10111110

Muunnostaulukko

kantaluku
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f